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曲率形式

更新时间：2024-07-06 14:32

微分几何中，曲率形式（curvature form）描述了主丛上的联络的曲率。它可以看作是黎曼几何中的曲率张量的替代或是推广。

定义

定义1

曲率形式(curvature forms)是特征曲率张量的二次形式。

令G为一个李群，记G的李代数为𝖌。设E→B为一个主G丛。令ω表示E上一个埃雷斯曼联络（它是一个E上的𝖌值1形式）。

那么联络𝓗的曲率形式就是E上的𝖌值2形式Ω，定义为Ω(b)(x,y)=-ω[X,Y]v(b)，b∈E，x,y∈TbE，X,Y为E上水平向量场，满足 X(b)=x，Y(b)=y。

定义2

等价定义为

其中H:TuE→HuE是由联络对应的分割。

由嘉当结构方程

这里d表示标准外导数，是李括号。或者说

性质

曲率形式拥有与联络相同的E在结构群G的自然左作用下不变的性质：

设η:P×𝖌→P为平凡丛，Ω为P的取值于η的微分形式。可等同α∈A(P,η)与π2∘α:𝖃P×...×𝖃P→𝖌，其中π2:P×𝖌→𝖌为投影。

表示

向量丛上的曲率形式

若是一个纤维丛，其结构群为G，我们可以在相伴的主G丛上重复同样的定义。

若是一个向量丛则我们可以把看作是1形式的矩阵，则上面的公式取如下形式：

其中是楔积。更准确地讲，若和分别代表和的分量（所以每个是一个通常的1形式而每个是一个普通的2形式），则

例如，黎曼流形的切丛，我们有作为结构群而是在中取值的2形式（给定标准正交基，可以视为反对称矩阵）。在这种情况，是曲率张量的一种替换表述，也就是在曲率张量的标准表示中，我们有

上式使用了黎曼曲率张量标准记号。