更新时间：2024-03-19 16:51
拓扑空间是一个集合 X和其上定义的拓扑结构组成的二元组 。X的元素 x通常称为拓扑空间 的点。而拓扑结构一词涵盖了开集，闭集，邻域，开核，闭包，导集，滤子等若干概念。从这些概念出发，可以给拓扑空间 作出若干种等价的定义。
拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和K理论。
3.有限个开集的交是开集。
这时，X中的元素称为点。我们也称𝓞是X上的一个拓扑。
设X是一个集合，𝔘={𝔘x}x∈X，则(X,𝔘)被称为一个拓扑空间，其中，𝔘x为子集族，如果对任意Ux∈𝔘x，称为x的邻域，下面的性质成立：
1. x∈Ux，且X是所有点的邻域；
2.包含Ux的集合也是邻域；
3.一点的任意两个邻域之交仍为该点的邻域；
4.Ux包含x的一个邻域，这个邻域是里面所有点的邻域。
依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。
以下假设X为一个拓扑空间。
详细资料请参照分离公理以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式，请参照分离公理的历史。
拓扑不可区分性
X中两个点x，y称为拓扑不可区分的，当且仅当如下结论之一成立：
对X中每个开集U，或者U同时包含x，y两者，或者同时不包含它们。
x的邻域系和y的邻域系相同。
，且 。
可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。已有许多版本的度量化定理，其中最著名的是乌雷松度量化定理：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。
对于任一类代数结构，我们都可以考虑其上的拓扑结构，并要求相关的代数运算是连续映射。例如，一个拓扑群G乃是一个拓扑空间配上连续映射（群乘法）及（逆元），使之具备群结构。
同样地，可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间，使得加法与纯量乘法是连续映射，这是泛函分析的主题；我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。
结合拓扑与代数结构，往往可以引出相当丰富而实用的理论，例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中，人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论，并得到较简明的陈述；如数论中的局部域（一种拓扑域），伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑（一种特别的拓扑群），以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑（一种拓扑环）等等。
拓扑空间也可能拥有自然的序结构，例子包括：
谱空间（spectral space）上的序结构。
特殊化预序：定义。常见于计算机科学。
主要有下面几条。
空间内任何两个不同的点都各有一个邻域不含另一点。
（T2分离公理） 空间内任何两个不同的点都各有邻域互不相交。
空间内每一点以及不含该点的任一闭集都各有邻域互不相交。
对于空间x 内每一点x及不含x的任一闭集B，存在连续映射ƒ∶x→[0,1]，使得ƒ(x)=0且对B内每一点y，ƒ(y)=1。
空间内任何两个不相交的闭集都各有邻域互不相交。
满足T1分离公理的空间叫T1空间。满足T2分离公理的空间叫T2空间或豪斯多夫空间。一个T1空间如果还满足正则分离公理或全正则分离公理或正规分离公理，则分别称为正则空间，完全正则空间和正规空间。各空间之间的蕴含关系可用“崊”表示如下：正规空间崊全正则空间崊正则空间崊T2空间崊T1空间。度量空间以及下述的紧空间和仿紧空间都是正规空间。