更新时间：2023-01-06 10:27
具有内积运算的线性空间，是n维欧氏空间的无限维推广.设K是实数域或复数域，H是K上线性空间，如果对H中任何两个向量x,y，都对应着一个数(x,y)∈K，满足条件：
1.(共轭对称性)对任意的x,y∈H，有
(x,y)=
2.(对第一变元的线性性)对任何x,y,z∈H及α,β∈K，有(αx+βy,z)=α(x,z)+β(y,z).
3.(正定性)对一切x∈H，有(x,x)≥0且
(x,x)=0⇔x=0，
这时(·,·)称为H中的内积，而称H为(实或复)内积空间，或准希尔伯特空间.令
‖x‖= ，
则按范数‖·‖，H成为赋范线性空间.设(X，‖·‖)是赋范线性空间，X中能定义内积(·，·)并使‖x‖= 恒成立的充分必要条件是X的范数‖·‖满足下面的平行四边形公式：对任何x，y∈X，
‖x+y‖+‖x-y‖=2(‖x‖+‖y‖).
完备的内积空间称为希尔伯特空间，希尔伯特空间H上连续线性泛函的全体记为H，称H为H的共轭空间.H的共轭空间H就是H本身.事实上，设f∈H，则存在惟一向量y∈H使得对所有x∈H都成立着f(x)=(x，y)，且‖f‖=‖y‖(里斯定理).反之，对每个y∈H，fy(x)=(x，y)确定了H上一个连续线性泛函fy∈H.做H到H的映射C如下：C：y→fy(y∈H)，则有
即C实现了H与H*之间的保范共轭线性同构，在此同构意义下，把fy与y视为等同，便得H=H.这一性质也称为希尔伯特空间的自共轭性，它在希尔伯特空间算子理论中具有很重要的作用.
第一个具体的希尔伯特空间最早是由希尔伯特(Hilbert，D.)在研究积分方程时首先提出的，他在平方可和的无穷实数列{xn}全体组成的空间l中规定了内积
({xn}，{yn})= xnyn，
把空间l看做欧几里得空间向无穷维的推广，从而有效地解决了一类积分方程求解及本征展开问题.不久冯·诺伊曼(von Neumann，J.)建立了一般希尔伯特空间的理论.希尔伯特空间的概念和理论已被广泛应用于数学和物理的各个分支.如积分方程、微分方程、随机过程、函数论、调和分析、数学物理和量子物理等.
2.内积空间的有限维子空间是完备子空间。
在数学上，内积空间是增添了一个额外的结构的矢量空间。这个额外的结构叫做内积或标量积。这个增添的结构将一对矢量与一个纯量连接起来，允许我们严格地谈论矢量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论矢量的正交性。内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象），这是泛函分析讨论的课题。
内积空间有时也叫做准希尔伯特空间，因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。
在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词已经被淘汰了。在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数/不可数）的欧几里德空间。
向量空间是欧几里得空间的推广。设E是域K上的向量空间，( ， )是E上的双线性函数.若( ， )满足下列条件，则E称为内积空间，( ， )称为内积：
条件1.对称性.
条件2.非退化性.
若E，F是域K上的内积空间，则E×F也是K上的内积空间.若dim E=n，dim F=m，{aγ}与{bμ}分别是E，F的法正交基，则{aγ×bμ}是E×F的法正交基.
内积（inner product），又称数量积（scalar product）、点积（dot product）
他是一种矢量运算，但其结果为某一数值，并非向量。
设矢量A=[a1,a2,...an]，B=[b1,b2...bn] ，则矢量A和B的内积表示为:
A·B=a1×b1+a2×b2+……+an×bn
A·B = |A| × |B| × cosθ
|A|=(a1^2+a2^2+...+an^2)^(1/2);
|B|=(b1^2+b2^2+...+bn^2)^(1/2).
其中，|A| 和 |B| 分别是向量A和B的模，是θ向量A和向量B的夹角（θ∈[0,π]）。若B为单位向量，即 |B|=1时，A·B= |A| × cosθ，表示向量A在B方向的投影长度。向量A为单位向量时同理。当向量A与B垂直时，A·B=0。
设X为复线性空间,如果对任给的x, y∈X都恰有一个复数,记为(x, y),与之对应,并且对应具有下列性质:
1. (x, x)≥0; (x, x) = 0必须且只须x = 0
2. (x + y, z) = (x, z) + (y, z)
3. (αx, y) = α(x, y)
4. (x, y) = (y, x)
对任意的x, y∈X, α∈C,称(x, y)为x与y的内积,称X为内积空间。
内积空间有如下特性：
在内积空间X中，x⊥Iy⇔x⊥Py.
内积空间中, “⊥P”具有齐次性和可加性
内积空间中的等腰正交有齐次性和可加性
X为内积空间,当且仅当x⊥Py⇔x⊥Sy.
X为一个赋范线性空间, λ > 0,若x, y∈S(X),且 ∥x + λy∥=∥x−λy∥,则∥x + λy∥2= 1 + λ2就称X满足P
λ性质.
Minkowski平面中若存在一个非零的⊥R正交元x0,且∀λ > 0,满足Pλ性质,则该空间为内积空间.
X为三维实赋范空间,存在非零元素x, y, z∈X且满足下面两个条件:1.x⊥Py, x⊥Pz, y⊥Pz,且x与my, x与nz y与qz满足正交可加性, m, n, q∈Z+;2.x⊥Pαy + βz, y⊥Pαx + βz, z⊥Pαx + βy α, β∈R;则X为内积空间.
有 限 维 空 间X中 存 在 一 组 非 零 的 正 交 元x1, x2, ..., xn且 满 足类似定理2.2.12中的条件两两互相P正交,元素及其整数倍满足正交可加性且xj⊥∑ni=1αixi,∀αi∈R且αj= 0 j = 1, 2...n则X为内积空间.