更新时间：2023-01-08 01:01
当 和 具有以下形式时，该级数称为傅立叶级数：
其中 是可积函数。
傅里叶级数是一种三角级数，傅里叶级数也常称为三角级数。但并不是所有三角级数都是傅立叶级数。一个有趣的问题是给定一个三角级数，当x取什么值时级数收敛。
格奥尔格·康托尔在1870年证明了这一定理。如果三角级数的和函数是零，那么，该三角级数的各项系数均为零。因此，如果两个三角级数的和函数相等，那么它们的各项系数也相等。
在数学中，傅里叶级数（Fourier series）是把类似波的函数表示成简单正弦波的方式。更正式地说，它能将任何周期函数或周期信号分解成一个（可能由无穷个元素组成的）简单振荡函数的集合，即正弦函数和余弦函数（或者，等价地使用复指数）。离散时间傅里叶变换是一个周期函数，通常用定义傅里叶级数的项进行定义。另一个应用的例子是Z变换，将傅里叶级数简化为特殊情形 |z|=1。傅里叶级数也是采样定理原始证明的核心。傅里叶级数的研究是傅里叶分析的一个分支。
傅里叶级数得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶(1768年–1830年)，他提出任何函数都可以展开为三角级数。此前数学家如拉格朗日等已经找到了一些非周期函数的三角级数展开，而认定一个函数有三角级数展开之后，通过积分方法计算其系数的公式，欧拉、达朗贝尔和克莱罗早已发现，傅里叶的工作得到了丹尼尔·伯努利的赞助。傅里叶介入三角级数用来解热传导方程，其最初论文在1807年经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德评审后被拒绝出版，他的被称为傅里叶逆转定理的理论后来发表于1820年的《热的解析理论》中。将周期函数分解为简单振荡函数的总和的最早想法，可以追溯至公元前3世纪古代天文学家的均轮和本轮学说。
在这一节中， 表示实变量 的一个函数，且 在 上可积， 和 为实数。我们将尝试用谐波关系的正弦函数的无穷和或级数来表示该区间内的 。在区间外，级数以 为周期（频率为 ）。若 也具有该性质，则它的近似在整个实数线上有效。我们可以从有限求和（或部分和）开始：
为周期为P的周期函数。运用恒等式：
当系数（即傅里叶系数）以下面方式计算时：
在 近似了 ，该近似程度会随着N→∞ 逐渐改善。这个无穷和叫做 的傅里叶级数表示。在工程应用中，一般假定傅里叶级数除了在不连续点以外处处收敛，原因是工程上遇到的函数比数学家提供的这个假定的反例表现更加良好。特别地，傅里叶级数绝对收敛且一致收敛于s(x)，只要在s(x) 的导数（或许不会处处存在）是平方可积的。 如果一个函数在区间 [x0, x0+P]上是平方可积的，那么此傅里叶级数在几乎所有点都收敛于该函数。傅里叶级数的收敛性取决于函数有限数量的极大值和极小值，这就是通常称为傅里叶级数的狄利克雷条件。参见傅里叶级数的收敛性之一。对于广义函数或分布也可以用范数或弱收敛定义傅里叶系数。
希尔伯特空间的解读
所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。
在希尔伯特空间释义下，函数的集合是平方可积函数的正交基。这个空间实际上是一个希尔伯特空间，有着针对任何两个的元素f和g的如下内积：
三角函数族的正交性用公式表示出来就是：
(这里的δmn是克罗内克函数)，而
至今还没有判断傅里叶级数的收敛性充分必要条件，但是对于实际问题中出现的函数，有很多种判别条件可用于判断收敛性。比如x(t)的可微性或级数的一致收敛性。在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下：
满足以上条件的x(t)傅里叶级数都收敛，且：
1.当t是x(t)的连续点时，级数收敛于x(t)；
2.当t是x(t)的间断点时，级数收敛于 。
1966年，里纳特·卡尔松证明了勒贝格二次可积函数的傅立叶级数一定是几乎处处收敛的，即级数在除了一个勒贝格零测集外均收敛。